13738
۱۷/۱۱/۹۴
۰۱:۳۷

گفتار ششم از سلسله مطالب تعلیم و تربیت و روش تحقیق/ دکتر احمد هدایت پناه

آشنایی‌ با استراتژی‌ حل‌ مساله‌

در این مطلب به گفتار ششم از سلسله مطالب تعلیم و تربیت و روش تحقیق با عنوان «آشنایی‌ با استراتژی‌ حل‌ مساله‌»، به قلم دکتر احمد هدایت پناه پرداخته شده است.

به گزارش روشن خبر، در ادامه سلسله مطالب تعلیم و تربیت و روش تحقیق، برای اساتید دانشگاه و معلمان، به قلم دکتر احمد هدایت پناه، استاد دانشگاه و پژوهشگر برتر استان و کشور، که هر هفته به یک موضوع پرداخته می شود؛ در این مطلب به گفتار ششم از این سلسله مطالب با عنوان «آشنایی‌ با استراتژی‌ حل‌ مساله‌»، پرداخته شده است.

آشنایی‌ با استراتژی‌ حل‌ مساله‌[۱] :

با توجه‌ به‌ نظریات‌ مختلفی‌ که‌ در رابطه‌ با حل‌ مساله‌ و استدلال‌ ریاضی‌ وجود دارد به‌سه‌ عنوان‌ زیر در این‌ زمینه‌ به‌ اختصار پرداخته می‌شود.

۱ ـ کلیات‌       ۲ ـ روشهای‌ اثبات‌        ۳ – اجراء و انجام‌ یک‌ اثبات‌

 

۱-کلیات‌

الف‌) قصد و اندیشه‌ از اثبات‌

با توجه‌ به‌ نظرات‌ مختلفی‌ که‌ در رابطه‌ با حل‌ مساله‌ و استدلال‌ ریاضی‌ وجود دارد و تاحدی‌ آشنایی‌ داریم‌ سه‌ عنوان‌ زیر در این‌ زمینه‌ و به‌ اختصار توسط‌ صادقی‌ بررسی‌…

۱ ـ کلیات‌۲ ـ روشهای‌ اثبات‌۳ ـ اجراء انجام‌ یک‌ اثبات‌

 

الف) قصد و اندیشه‌ از اثبات‌:

موقعی‌ که‌ اثبات‌ یا برهانی‌ را از دانش‌آموزان‌ خواسته می شود و یا زمانی‌ که‌ اثباتی‌ درحضورشان‌ انجام‌ می‌گیرد، دنبال چه‌ قصد و اندیشه‌ای‌ بوده و چه‌ هدفی‌ دنبال‌ می‌شود؟

آیا منظور انجام‌ یک‌ گفتگو و بحث‌ و درک‌ مساله‌ است‌ وبنا است که فرض‌ و نتیجه‌ آن‌ تشریح‌ و اطلاعات‌ مفید جمع‌آوری‌ شود؟

آیا مقصود این‌ است‌ که‌ بدانیم‌ دانش‌آموز لزوم‌ اثبات‌ یک‌ برهان‌ را شناخته‌ است‌ یامی‌خواهیم‌ آشنا شود که‌، یک‌ مثال‌ نقض‌ برای‌ اثبات‌ کافی‌ است‌، یا بداند که‌ هر بحث‌ وگفتگویی‌ استدلال‌ نیست‌. آیا منظور این‌ است‌ که‌ یک‌ اثبات‌ کامل‌ انجام‌ گرفته‌ و تمام‌مراحل‌ اثبات‌ را با شرح‌ جزئیات‌ گزاره‌ها و تعاریف‌ و قضایای‌ بکار رفته‌ توجیه‌ نماییم‌.آیا مقصود نگارش‌ است‌ و فقط‌ می‌خواهیم‌ اطلاعاتی‌ را به‌ زبان‌ ریاضی‌ و با یک‌ متن‌ریاضی‌ به‌ دانش‌آموزان‌ انتقال‌ دهیم‌.بر حسب‌ هدف‌ یا اهدافی‌ که‌ اختیار می‌شود. این‌ یا آن‌ روش‌ را برای‌ ارائه‌ اثبات‌ به‌ کارمی‌بریم‌ در فراگیریها، بخصوص‌ فراگیریهای‌ اولیه‌ اثبات‌، باید تجزیه‌ و تحلیل‌بی‌اندازه‌ ظریفی‌ از اثبات‌ نمود و توجیه‌های‌ متفاوتی‌ را در موردش‌ انجام‌ داد. بکاربردن‌ نمودارهایی‌ جداولی‌ با دو ستون‌ که‌ یکی‌ مربوط‌ به‌ گزاده‌ها و دیگری‌ مربوط‌ به‌توجیه‌ این‌ گزاده‌ باشد مفید است‌ و اغلب‌ در اولین‌ مرحله‌ یادگیری‌ رضایت‌ بخشند.ضمنا لازم‌ است‌ توجه‌ داشته‌ باشیم‌. که‌ انجام‌ اثبات‌ فقط‌ به‌ یک‌ صورت‌ که‌ بدان‌ عادت‌کردیم‌. روش‌ خوبی‌ نبوده‌ و در امر آموزش‌ خطرناک‌ است‌.

 

ب)انگیزه‌ اثبات‌ ـ حدس‌ زدن‌

یک‌ هدف‌ خوب‌ و قابل‌ قبول‌ در هر اثبات‌ ، آن‌ است‌ که‌ شاگردان‌ را با خودمان‌ چنان‌ به‌همراه‌ داشته‌ باشیم‌ که‌ لزوم‌ اثبات‌ کردن‌ را احساس‌ نمایند .آنچه‌ را که‌ یک‌ اثبات‌ برای‌ یک‌ قضیه‌ است‌ بفهمد. وقتی‌ به‌ همراه‌ اثبات‌ مثالهای‌ عددی‌ و هندسی‌خاصی‌ را در نظر می‌گیریم‌، شاگردان‌ با مشاهداتشان‌ می‌توانند همراه‌ اثبات‌ باشند و بااظهار حدس‌ و تصورشان‌، حضورشان‌ را در جریان‌ اثبات‌ نشان‌ دهند. و گاهی‌ هم‌ لازم‌ است‌ با طرح‌ سوالات‌ مختلف‌انگیز حدس‌ زدن‌ را در شاگردان‌ ایجادنمود.

مثال‌

۱۲ مضرب‌ ۶ و ۶ مضرب‌ ۳ است‌، به‌ همین‌ جهت‌ ۱۲ مضرب‌ ۳ است‌.

۱۰۰۱ مضرب‌ ۹۱ و ۹۱ مضرب‌ ۷ است‌ به‌ همین‌ جهت‌ ۱۰۰۱ مضرب‌ ۷ است‌

حدس‌ ممکن‌: رابطه‌ «مضرب‌ بودن‌» یک‌ رابطه‌ هم‌ ارزی‌ در IN است‌

مثال‌:

۴۵ یک‌ مضرب‌ ۳ و یک‌ مضرب‌ ۵ است‌، همچنین‌ مضرب‌ ۱۵ یعنی‌ ۵ *۳ است‌ ۴۸مضرب‌ ۴ و مضرب‌ ۶ است‌ و همچنین‌ مضرب‌ ۲۴ یعنی‌ ۶*۴ است‌.

حدس‌ ممکن‌: اگر یک‌ عدد طبیعی‌ مضرب‌ دو عدد طبیعی‌ باشد. مضرب‌ حاصل‌ ضرب‌آنها نیز خواهد بود

بسیار رضایتبخش‌ است‌ که‌ شاگردان‌ را در وضعیت‌ حدس‌ زدن‌ نتیجه‌ قرار دهیم‌ که‌گاهی‌ هم‌ این‌ نتایج‌ نادرست‌ خواهد بود.

مثال: لازم‌ است‌ با مثالهای‌ متعدد و یااستدلال‌ ریاضی‌، نادرست‌ بودن‌ حدسش‌ را تا آنجا که‌ ممکن‌ است‌ و خارج‌ از اطلاعات‌او نمی‌باشد به‌ او بفهمانیم‌. در تمام‌ حالات‌ بهتر است‌ شاگردان‌ آشنا باشند که‌: «درقانون‌ بازی‌ با ریاضیات‌»

تا آنجا که‌ امکان‌ خروج‌ از بازی‌ است‌ و در شک‌ و تردید هستیم‌ بازی‌ را نپذیریم‌.

 

ج)متقاعد کردن‌ ـ اثبات‌ کردن‌ ـ مصور کردن‌

شاگردی‌ ممکن‌ است‌ با یک‌ توضیح‌، یک‌ تصویر، یک‌ کاربرد از واقعیت‌ یا نتیجه‌ یک‌قضیه‌ متقاعد شود و همیشه‌ یک‌ استدلال‌ کامل‌ او را متقاعد نکند.

مثال‌: حاصل‌ جمع‌ n عدد اولیه‌ طبیعی‌ است‌.Untitled4

Untitled3

در مورد برهان‌، در اولین‌ وهله‌ می‌توان‌ گفت‌ هدفش‌ اثبات‌ درستی‌ یک‌ گزاره‌ است‌.

ارائه‌دهنده‌ فهرستی‌ از گزاره‌هایی‌ است‌ که‌ می‌دانیم‌ درستند. خواه‌ به‌ این‌ دلیل‌ که‌ برمبنای‌ قواعد استنتاج‌ ساخته‌ شده‌اند، خواه‌ به‌ این‌ دلیل‌ که‌ واقعیتهایی‌ هستند که‌تاکنون‌ شناخته‌ شده‌اند.

 

۲– روشهای‌ اثبات‌

الف) نظریه‌ ریاضی‌:

به‌ طور خلاصه‌ نظریه‌ ریاضی‌ بر پایه‌های‌ زیر تشکیل‌ می‌شود:

فهرستی‌ از اصطلاحات‌ و نمادها

فهرستی‌ از گزاده‌ها

اصطلاحات‌ مفاهیم‌ اولیه‌ و گزاره‌ها اصول‌ موضوعه‌ نظریه‌ هستند. مثلا نقطه‌، خط‌ و Qو E از اصطلاحات‌ و نمادها هستند ولی‌: بر دو نقطه‌ متمایز فقط‌ یک‌ خط‌ راست‌می‌گذرد یک‌ گزاره‌ است‌.

ب)چگونه‌ اثبات‌ می‌کنیم‌.

اثبات‌ گزاده‌ها را به‌ سه‌ گروه‌ دسته‌بندی‌ می‌کنیم‌.

ـ آنهایی‌ که‌ برای‌ اثباتشان‌ فقط‌ یک‌ مثال‌ و یا یک‌ مثال‌ نقض‌ کافی‌ است‌.

ـ آنهایی‌ که‌ تمام‌ حالات‌ ممکنشان‌ کاملاً بررسی‌ می‌شود.

ـ شکل‌های‌ دیگر.

بیان‌ یک‌ برهان‌ و اثبات‌ بیان‌ متوالی‌ گزاده‌هایی‌ است‌ با شرط‌ زیر.

مجاز به‌ بیان‌ گزاره‌هایی‌ هستیم‌ که‌ راست‌ هستند یعنی‌ متکی‌ بر یک‌ اصل‌ موضوع‌ یایک‌ تعریف‌ و یا یک‌ قضیه‌ کاملاً اثبات‌ شده‌ قبلی‌ می‌باشد. از روش‌ استنتاج‌ استفاده‌کرده‌ و گزاره‌های‌ صحیح‌ مساله‌ را دنبال‌ می‌کنیم‌. تا به‌ نتیجه‌ مطلوب‌ برسیم‌. متاسفانه‌نمی‌توان‌ گفت‌ که‌ چگونه‌ می‌توان‌ یک‌ برهان‌ را ساخت‌. و برخی‌ از شیوه‌هایی‌ که‌ برای‌اثبات‌ بکار می‌روند از راه‌ تجربه‌ یا تقلید از آنچه‌ دیگران‌ کرده‌اند آموخته‌ شده‌اند ولی‌برای‌ اثبات‌ یا رد هر گزاره‌ در ریاضیات‌ هیچ‌ روش‌ ویژه‌ معینی‌ وجود ندارد با این‌ حال‌برخی‌ از توصیه‌ها ممکن‌ است‌ شما را در اقامه‌ برهان‌ یاری‌ کنند، عبارتند از ۱ ـ مطمئن‌شوید که‌ معنی‌ دقیق‌ هر اصطلاحی‌ را که‌ در قضیه‌ با مساله‌ مورد بحث‌ آمده‌ است‌بروشنی‌ می‌فهمید.در صورت‌ لزوم‌ تعاریف‌ را بار دیگر از نظر بگذرانید، ۲ – آنچه‌ را که‌ می‌خواهید ثابت‌کنید. پیوسته‌ به‌ یاد داشته‌ باشید. به‌ گزاره‌های‌ پیشین‌ که‌ اطلاعاتی‌ درباره‌ مساله‌ موردبحث‌ به‌ شما می‌دهد مراجعه‌ کنید. در صورت‌ لزوم‌ از نمودار استفاده‌ کنید تا درتجسم‌ مساله‌ یا اثبات‌ آن‌ یاور شما باشد.

 

ج)ملاکهای‌ درستی‌:

در نتیجه‌ گیری‌ گزاره‌ها (موسوم‌ به‌ نتیجه‌) از یک‌ یا چند گزاره‌ها دیگر (موسوم‌ به‌مفروضات‌) و اثبات‌ یعنی‌ آوردن‌ برهان‌ یک‌ نتیجه‌گیری‌ مجاز به‌ استفاده‌ از ملاکهای‌درستی‌ هستم‌.

۱ ـ بنابر فرض‌… ۲ ـ بنابر اصل‌ موضوع‌… ۳ ـ بنابر تعریف‌ ۴ ـ بنابر قضیه‌ یا نتیجه‌و…. که‌ قبلا ثابت‌ شده‌ ۵ ـ بنابر قانون‌… منطق‌

 

۳- اجرا و انجام‌ یک‌ اثبات‌

لازم‌ است‌ که‌ بین‌ فن‌ استدلال‌ و جستجوی‌ یک‌ استدلال‌ که‌ مرحله‌ اساسی‌ است‌. وفرایندش‌ به‌ خوبی‌ شناخته‌ نشده‌ است‌ و همچنین‌ نحوه‌ انتقال‌ یک‌ استدلال‌ به‌ دیگری ، ‌تفاوت‌ قائل‌ شویم‌. برای‌ انجام‌ و اثبات‌ یک‌ گزاده‌ یا حل‌ یک‌ مساله‌ معمولا مراحل‌ زیرطی‌ می‌شوند.

 

الف) خواندن‌ دقیق‌ مساله‌:

لزوم‌ برقراری‌ یک‌ اثبات‌ یا برهان‌، در اولین‌ وهله‌ و در شروع‌، فهم‌ و درک‌ صورت‌مساله‌ و تجزیه‌ و تحلیل‌ آن‌ است‌. یعنی‌ شناخت‌ دقیق‌ اطلاعات‌ که‌ شامل‌ مفروضات‌هستند و نتیجه‌ای‌ که‌ لازم‌ است‌ بدان‌ برسیم‌. خلاصه‌ اینکه‌ در اولین‌ قدم‌ لازم‌ است‌توانایی‌ خواندن‌ یک‌ متن‌ ریاضی‌ را داشته‌ باشیم‌.

 

ب) جستجوی‌ برهان‌ و اثبات‌:

بعد از اینکه‌ صورت‌ مساله‌ دقیقاً خوانده‌ شده‌ و خواسته‌ مساله‌ درک‌ گردید. زمان‌استدلال‌ و برهان‌ فرا می‌رسد. مرحله‌ای‌ که‌ مشکل‌تر از اولی‌ است‌ و قاعده‌ و قانون‌ثابتی‌ هم‌ ندارد.

لازم‌ است‌ از اطلاعات‌ مساله‌ و از اطلاعات‌ گذشته‌ که‌ به‌ نحوی‌ با مساله‌ مورد بررسی‌در ارتباط‌ هستند استفاده‌ کرد و با برقراری‌ یک‌ ارتباط‌ منطقی‌ بین‌ اطلاعات‌ و نتایج‌خواسته‌ شده‌ سعی‌ کنیم‌ به‌ آنچه‌ که‌ در جستجویش‌ هستیم‌ برسیم‌.

ج) ارتباط‌ با دیگران‌ در خصوص‌ یک‌ اثبات‌

بعد از تعیین‌ مطالب‌ مفید و پیدا کردن‌ راهی‌ که‌ به‌ نتیجه‌ مطلوب‌ می‌رسد لازم‌ است‌ به‌طریقی‌ آنها را در اختیار دانش‌آموزان‌ قرار دهیم‌ و به‌ عبارت‌ دیگر بین‌ خود ودانش‌آموزان‌ ارتباط‌ برقرار کنیم‌. تا به‌ کمک‌ این‌ ارتباط‌ نتیجه‌ حاصل‌ قابل‌ قبول‌ و قابل‌فهم‌ برایشان‌ باشد.

یک‌ استدلال‌ را می‌توان‌ به‌ شیوه‌های‌ مختلف‌ ارائه‌ نمود که‌ نمونه‌هایی‌ از این‌ شیوه‌ها رادر زیر خواهیم‌ دید.

مثال‌ : اگر ABC مثلثی‌ قائم‌الزاویه‌ و متساوی‌الساقین‌ به‌ راس‌ A و ABDC یک‌متوازی‌ الاضلاع‌ باشد آنگاه‌ ABCD یک‌ مربع‌ است‌.

 

برهان‌ پیشنهادی‌:

ABC مثلثی‌ قائم‌ به‌ راس‌ A است‌ پس‌ AB بر AC عمود است‌ (بنا به‌ فرض‌ و تعریف‌زاویه‌ قاعده‌) از طرفی‌ بنا به‌ فرض‌ ABDC یک‌ متوازی‌ الاضلاع‌ است‌ بنابراین‌ABDC یک‌ مستطیل‌ است‌ زیرا هر متوازی‌ الاضلاع‌ که‌ دو ضلع‌ عمود بر هم‌ داشته‌باشد یک‌ مستطیل‌ است‌.

ABC مثلثی‌ متساوی‌الساقین‌ است‌، بنا به‌ تعریف‌ مثلث‌ الساقین‌ (d(AB) = d(AC از طرفی‌ ABDC یک‌ متوازی‌ الاضلاع‌ است‌، بنابراین‌ ABDC یک‌ لوزی‌ است‌ زیرا هرمتوازی‌ الاضلاع‌ که‌ دو ضلع‌ مجاور قابل‌ انطباق‌ داشته‌ باشد یک‌ لوزی‌ است‌.

در نتیجه‌ ABDC یک‌ مربع‌ است‌ زیرا متوازی‌ الاضلاعی‌ که‌ هم‌ مستطیل‌ و هم‌ لوزی‌باشد یک‌ مربع‌ است‌

مثال‌ : به‌ ازای‌ هر دو عدد حقیقی‌ و مثبت‌ y , x اگر x £ y آنگاه x2 £ y2

(علامت کوچکتری مساوی)£

برهان‌ پیشنهادی‌:

۱ – می‌دانیم‌ که‌ به‌ ازای‌ هر سه‌ عدد حقیقی‌ و مثبت‌ x , y , z اگرx £ y آنگاه xz £ yz (قضیه‌ قبلاً ثابت‌ شده‌)

۲ – با استفاده‌ از نتیجه‌ مرحله‌ ۱ و در نظر گرفتن‌ حالتهای‌ خاص‌ x = z و z – ×y اگر
x £ y آنگاه‌

x2 £ yx و xy £ y2

۳ ـ با استفاده‌ از نتیجه‌ مرحله‌ ۲ و این‌ خاصیت‌ که ‌ £ در R متعدی‌ است‌

اگر x £ y آنگاه x2 £ y2

مثال‌ : اگر x و y دو عدد حقیقی‌ باشند، اگر x2 = y2 آنگاه x = y یا x = y

برهان‌ پیشنهادی‌

استفاده‌ از جدول‌ دو ستونی‌:

Untitled

د) نقش‌ نمودارها در انتقال‌ مفاهیم‌ و حل‌ مسائل‌:

استفاده‌ از انواع‌ نمودارها در آموزش‌ و آن‌ هم‌ آموزش‌ ریاضی‌ چیزی‌ نیست‌ که‌ تازگی‌داشته‌ و معلمین‌ با آن‌ آشنایی‌ نداشته‌ باشند، اغلب‌ کتب‌ درسی‌ علوم‌ شامل‌ انواع‌نمودارها است‌ که‌ وسیله‌ انتقال‌ مفاهیم‌ ریاضی‌ به‌ دانش‌آموزان‌ و معلمین‌ است‌. ولی‌همه‌ این‌ نمودارها جنبه‌ کمک‌ آموزشی‌ داشته‌ و مستقلاً نه‌ قضیه‌ای‌ را اثبات‌ می‌کند ونه‌ نتیجه‌ عینی‌ آنها می‌تواند دلیل‌ درستی‌ یا نادرستی‌ گزاره‌ای‌ باشد.

بخصوص‌ گاهی‌ هم‌ با استفاده‌ نادرست‌ از این‌ نمودارها و قبولشان‌ به‌ عنوان‌ مراحلی‌ ازبرهان‌ به‌ نتایج‌ غیر قابل‌ قبولی‌ می‌رسیم‌ که‌ نتیجه‌ آموزشی‌ آنها خطرناک‌ است‌.

نوعی‌ از نمودار به‌ نام‌ گراف‌ وجود دارد که‌ علاوه‌ بر نقش‌ کمکی‌ خود به‌ عنوان‌ برهان‌عمل‌ می‌کند.

united2

عوامل‌ موثر در مدل‌ از منظر درون‌ ریاضی‌ ـ برون‌ ریاضی‌
۱ ـ حافظه‌ کاری‌ یا فعال‌ و ظرفیت‌ ذهنی‌ شاگردان‌ (Working Memory)
۲ ـ پیچیدگی‌ تکلیف‌ یا گام‌های‌ فکری‌ مساله‌ Z – demads
۳ ـ طرحواره‌ها (ساختارهای‌ مفهومی‌ ـ ذهنی‌) (Schemat)
۴ ـ راهبردها و مهارت‌های‌ حل‌ مساله‌ (Mental skills)

به منظور حل مشکل علامت های ریاضی در مطلب، می توانید مطلب را از اینجا نیز دریافت نمایید.

لینک مطالب مربوط به گفتار اولگفتار دوم گفتار سومگفتار چهارم  – گفتار پنجم

انتهای پیام/

 

ارسال نظر