14132
۲۴/۱۱/۹۴
۱۴:۱۰

گفتار هفتم از سلسله مطالب تعلیم و تربیت و روش تحقیق/ دکتر احمد هدایت پناه

حل مساله

در این مطلب به گفتار هفتم از سلسله مطالب تعلیم و تربیت و روش تحقیق با عنوان « حل‌ مساله‌»، به قلم دکتر احمد هدایت پناه پرداخته شده است.

به گزارش روشن خبر، در ادامه سلسله مطالب تعلیم و تربیت و روش تحقیق، برای اساتید دانشگاه و معلمان، به قلم دکتر احمد هدایت پناه، استاد دانشگاه و پژوهشگر برتر استان و کشور، که هر هفته به یک موضوع پرداخته می شود؛ در این مطلب به گفتار هفتم از این سلسله مطالب با عنوان « حل‌ مساله‌»، پرداخته شده است.

گفتارهفتم:

۱) آمادگی‌ حل‌ مساله‌ در ریاضی‌

وضعیتی‌ است‌ که‌ فراگیر بتواند از دانش‌ مفهومی‌ و اجرایی‌ (مهارتی‌) خود درموقعیت‌های‌ آشنا و ناآشنا (نسبتاً جدید) استفاده‌ نماید و با پردازش‌ اطلاعات‌ (خودو مساله‌) نسبت‌ به‌ ارایه‌ راه‌ حل‌ (راه‌ حل‌ها) و نیل‌ به‌ جواب‌ اقدام‌ نماید.

شایان‌ ذکر است‌ که‌

۱ – کمبود آمادگی‌های‌ مشهود در کار ریاضی‌ (به‌ ویژه‌ در کودکان‌ دبستانی‌ وراهنمایی‌) می‌تواند ناشی‌ از کمبود ظرفیت‌ حافظه‌کاری‌ و عدم‌ توسعه‌ راهبردهای‌ حل‌مساله‌ در آنان‌ باشد

۲ – یکی‌ از مشکلات‌ جدی‌ شاگردان‌ در دروس‌ ریاضی‌ بازشناسی‌ این‌ امر است‌ که‌برای‌ هر مساله‌ چه‌ دانش‌ مفهومی‌ و اجرایی‌ مناسب‌ و قابل‌ به‌ کارگیری‌ است‌.

۲-فرایند حل‌ مساله‌ را معمولا به‌ چهار مرحله‌ عمده‌ به‌ شرح‌ زیر تقسیم‌می‌کند.

۲ ) بازنمایی‌ و شناسایی‌ مساله‌

ـ بیان‌ و تجزیه‌ و تحلیل‌ مساله‌

ـ گام‌ داده‌ها

ـ گام‌های‌ بالقوه‌ میان‌ بیان‌ مساله‌ تا حالت‌ هدف‌

ـ گام‌های‌ فکری‌ مورد نیاز

ـ حالت‌ هدف‌ یا جواب‌

ـ گام‌ خواسته‌ها

۲ ـ طرحریزی‌ برای‌ رسیدن‌ به‌ هدف‌ (جواب‌)

۳ ـ اجرای‌ طرح‌ (دانش‌ اجرایی‌)

۴ ـ بازبینی‌ عملیات‌ و گامهای‌ فکری‌ انجام‌ شده‌

۳)طرحواره‌ مساله‌

رایلی‌ و همکاران‌ او (۱۹۸۳) می‌گویند که‌ برای‌ هر نوع‌ مساله‌، طرحواره‌ مساله‌ای‌وجود دارد.

مثال‌ ۱۵ ـ مساله‌ زیر را در زمینه‌ تغییر در نظر بگیرید.

جواد هشت‌ مهره‌ داشت‌، او پنج‌ مهره‌ به‌ تقی‌ داد، حالا جواد چند عدد مهره‌ دارد؟

رایلی‌ و همکاران‌ او می‌گویند که‌ بازنمایی‌ مساله‌ در مورد این‌ تکلیف‌ شامل‌ سه‌ جزاست‌ اولین‌ جزء مجموعه‌ آغاز یا کمیت‌ نخستین‌ است‌ ۸ مهره‌.

دومین‌ جزء تغییری‌ که‌ روی‌ داده‌ باید بازشناسی‌ شود بدین‌ جزء مجموعه‌ برداشت‌می‌گویند ۵ مهره‌ سرانجام‌ باید بازشناسی‌ شود که‌ مهره‌های‌ باقیمانده‌ سومین‌ جزء یامجموعه‌ حاصل‌ را تشکیل‌ می‌دهند ـ ۳ مهره‌

طرحواره‌ عمل‌: وقتی‌ مساله‌ای‌ بازنمایی‌ شد حل‌ آن‌ نیاز به‌ دانش‌ طرحواره‌ عمل‌ دارد.در مساله‌ مهره‌ که‌ با مجموعه‌ای‌ خالی‌ شروع‌ می‌شود. صورت‌ مساله‌ طرحواره‌ای‌(گذشت‌) را با مثال‌ ملموس‌ نشان‌ می‌دهد که‌ براساس‌ آن‌، مجموعه‌ نخست‌ برابرهشت‌ مهره‌ است‌ که‌ عبارت‌ «جواد هشت‌ مهره‌ داشت‌» باز نمودن‌ آن‌ است‌) آنگاه‌طرحواره‌ عمل‌ (برداشت‌) تغییر را نشان‌ می‌دهد (یعنی‌ حذف‌ ۵ مهره‌ از مجموعه‌نخست‌)، سرانجام‌ طرحواره‌ عمل‌ دیگری‌ (شمارش‌ همه‌) اشیای‌ باقیمانده‌ رامی‌شمارد مجموعه‌ حاصل‌ در عبارت‌ «حالا جواد چند مهره‌ دارد»؟ بازنمایی‌ شده‌است‌.

شایان‌ ذکر است‌ یادگیرندگان‌ برای‌ آنکه‌ بتوانند طرحواره‌های‌ مناسب‌ برای‌ انواع‌مختلف‌ مسأله‌ را انتخاب‌ کنند به‌ دانشی‌ راهبردی‌ نیاز دارند.

با استفاده‌ از همین‌ طرحواره‌ توصیف‌ کرد. به‌ طور کلی‌، ما مدعی‌ هستیم‌ که‌ عملیات‌ریاضی‌ به‌ کسب‌ طرحواره‌های‌ چندگانه‌ای‌ نیاز دارد تا طبقه‌ای‌ از عملیات‌ را که‌مجموعاً آنها را ریاضیات‌ می‌نامیم‌ امکانپذیر سازد.

اکثر دانش‌ ریاضی‌، به‌ویژه‌ حساب‌، شامل‌ شکل‌گیری‌ طرحواره‌هایی‌ است‌ که‌ به‌مجموعه‌ای‌ از روش‌های‌ اجرایی‌ منجر می‌شود. این‌ روش‌های‌ اجرایی‌ که‌ به‌ زبان‌کلیتر الگوریتم‌ نامیده‌ می‌شود اعمال‌ لازم‌ باری‌ حل‌ مسئله‌ را هدایت‌ می‌کند. در زیردر باره‌ تعدادی‌ از الگوریتم‌های‌ حسابی‌ (همه‌ از بشمارید، از بزرگتر بشمارید و…)اختصاراً بحث‌ می‌شود. برای‌ اینکه‌ این‌ گونه‌ الگوریتم‌ها به‌ اندازه‌ کافی‌ به‌ هنگام‌کاربرد آنها در حل‌ مسئله‌ انعطاف‌پذیر باشند باید با شبکه‌ای‌ از دانش‌ مفهومی‌ مربوط‌گردند. به‌ اعتقاد گرینو (۱۹۷۶) و رایلی‌ و همکاران‌ او (۱۹۸۳) وقتی‌ الگوریتم‌ها بادانش‌ مفهومی‌ تطبیق‌ کند، دانش‌ مفهومی‌ انتخاب‌ الگوریتم‌ مناسب‌ را آغاز می‌کند.در عین‌ حال‌، نتایج‌ کاربرد الگوریتم‌های‌ معین‌ (موفقیت‌ یا شکست‌) اغلب‌ به‌ تغییراتی‌در چارچوب‌های‌ مفهومی‌ می‌انجامد. پسخوراند تعاملی‌ دانش‌ و روش‌های‌ اجرایی‌،نهایتاً، به‌ تبحر در ریاضیات‌ پیشرفته‌ منجر می‌شود.

یکی‌ از مشکلات‌ اصلی‌ دانش‌آموزان‌ درس‌ ریاضی‌ (و بدین‌ ترتیب‌ معلمان‌ آنها)بازشناسی‌ این‌ است‌ که‌ برای‌ هر مسئله‌ای‌ اطلاعات‌ مفهومی‌ یا اجرایی‌ خاصی‌ مناسب‌است‌. ریاضیدانان‌ (مثلاً، پولیا، ۱۹۷۳ ؛ شوئنفلد، ۱۹۸۵) استدلال‌ کرده‌اند که‌ بایددانش‌ فنون‌ اکتشافی‌ (راهبردی‌) به‌ دانش‌آموزان‌ تدریس‌ شود تا انعطاف‌پذیری‌ ایشان‌در حل‌ مسئله‌ تقویت‌ گردد.

۴)دانش‌ فنون‌ اکتشافی‌

فنون‌ اکتشافی‌ راهبردهایی‌ است‌ که‌ حل‌کنندگان‌ مسئله‌ کسب‌ می‌کنند تا دانش‌ مفهومی‌و اجرایی‌ را با حل‌ مسئله‌ خاص‌ تطبیق‌ دهند. کتاب‌ پولیا به‌ نام‌ چگونه‌ مسائل‌ را حل‌کنیم‌ شامل‌ پیشنهادهایی‌ در زمینه‌ فنون‌ اکتشافی‌ عمومی‌ است‌ که‌ در بسیاری‌ از مسائل‌ریاضی‌ کاربرد دارد. برای‌ مثال‌، پولیا معتقد است‌ که‌ برای‌ شروع‌ حل‌ هر مسئله‌، فردباید این‌ سؤالات‌ را بپرسد: «مجهول‌ مسئله‌ کدام‌ است‌؟»، «تاریخ‌ها کدامند؟»، «شرط‌مسئله‌ چیست‌؟». متأسفانه‌، کانتوفسکی‌ (۱۹۷۷) و شوئنفلد (۱۹۸۵) نشان‌ داده‌اند که‌ارزش‌ این‌ گونه‌ فنون‌ اکتشافی‌ عمومی‌ چندان‌ بالا نیست‌. شوئنفلد (۱۹۸۵)، (۱۹۸۷)مدعی‌ است‌ که‌ فنون‌ اکتشافی‌ پیشنهادی‌ پولیا بیشتر فقط‌ عناوینی‌ برای‌ دسته‌هایی‌ ازراهبردهای‌ مربوط‌ به‌ یکدیگر است‌ و، بدین‌ ترتیب‌، به‌ روش‌های‌ اجرایی‌ خاصی‌نمی‌انجامد. علاوه‌ بر این‌ او استدلال‌ می‌کند که‌ بسیاری‌ از الگوریتم‌های‌ ریاضی‌ چنان‌پیچیده‌اند و مراحل‌ فراوان‌ دارند که‌ استفاده‌ از یک‌ راهبرد عمومی‌ احتمالاً کارسازنیست‌. بدین‌ ترتیب‌، شوئنفلد استدلال‌ می‌کند که‌ فنون‌ اکتشافی‌ عمومی‌ نمی‌تواندجایگزین‌ دانش‌ مفهومی‌ و اجرایی‌ حوزه‌ خاص‌ گردد. پولیا می‌گوید که‌ فنون‌ اکتشافی‌تعمیم‌ یافته‌ (که‌ به‌ بیان‌ درست‌تر طرحواره‌های‌ تعمیم‌ یافته‌ نامیده‌ می‌شود) ممکن‌است‌ شبیه‌ راهبردهای‌ مسئله‌گشای‌ عمومی‌ باشد (نک‌.نیوئل‌ و سایمون‌ ۱۹۷۲) که‌ به‌نظر می‌رسد ارزش‌ کمی‌ داشته‌ باشد. راهبردهای‌ عمومی‌ را نمی‌توان‌ جایگزین‌اطلاعات‌ خاصی‌ کرد که‌ برای‌ حل‌ مسائل‌ ریاضی‌ لازم‌ است‌. چنین‌ پیداست‌ که‌ تنهاپس‌ از اکتساب‌ میزان‌ قابل‌ ملاحظه‌ای‌ از دانش‌ مفهومی‌ و اجرایی‌ می‌توان‌ از فنون‌اکتشافی‌ مربوط‌ به‌ حل‌ مسائل‌ ریاضی‌ برای‌ ایجاد راهبردهای‌ مفیدی‌ استفاده‌ کرد(شوئنفلد، ۱۹۸۵).

۵)اکتساب‌ دانش‌

هر چه‌ دانش‌آموزان‌ پایه‌ مفهومی‌ و روشی‌ وسیعتری‌ را در ریاضیات‌ کسب‌ کنند و بین‌این‌ عناصر مفهومی‌ و اجرایی‌ پیوندهای‌ بیشتری‌ را برقرار سازند، حل‌کنندگانی‌کارآمدتر و منعطفتر می‌شوند (کارپنتر، ۱۹۸۶). شوئنفلد و هرمان‌ (۱۹۸۲) و سیلور(۱۹۷۲) معتقدند که‌ ریاضیدانان‌ ماهر از جنبه‌های‌ معنایی‌ (معنای‌) مسائل‌ برای‌رمزگذاری‌ خصوصیات‌ ذیربط‌ آنها استفاده‌ می‌کنند. ولی‌ حل‌کنندگان‌ نوآموزِ مسائل‌ریاضی‌ احتمالاً فاقد اطلاعات‌ معنایی‌اند و لذا مجبورند بر شکل‌ مسئله‌ ـ خصوصیات‌نحوی‌ یا ظاهری‌ صورت‌ مسئله‌ ـ تکیه‌ کنند. به‌ همین‌ جهت‌، شوئنفلد (۱۹۸۵) متذکرمی‌گردد که‌ بسیاری‌ از کتاب‌های‌ درسی‌ حساب‌ نوعی‌ روش‌ حل‌ مسئله‌ «کلید واژه‌ای‌»را که‌ صرفاً مبتنی‌ بر ساختاری‌ نحوی‌ است‌ تدریس‌ می‌کنند. اگر چنین‌ باشد، کودکان‌ممکن‌ است‌ مجموعه‌ای‌ از عملیات‌ طوطی‌وار را براساس‌ کلید واژه‌ها یاد بگیرند،بدون‌ آنکه‌ الزاماً ساختار معنایی‌ مسئله‌ را درک‌ کرده‌ باشند. مسئله‌ حساب‌ زیر را درنظر بگیرید:

بلال‌ شش‌ مهره‌ دارد و دو عدد آنها را به‌ جواد می‌دهد. چند عدد مهره‌ برای‌ بلال‌ باقی‌مانده‌ است‌؟

اگر دانش‌آموزی‌ صرفاً در برابر «کلید واژه‌ها» واکنش‌ نشان‌ دهد دو عدد و یک‌ کلیدواژه‌ را در این‌ مسئله‌ تشخیص‌ خواهد داد که‌ در این‌ مورد خاص‌، واژه‌ باقی‌ مانده‌ ونشانه‌ای‌ بر طرحواره‌ تفریق‌ است‌.

تمرکز بر کلید واژه‌ها پاسخ‌ صحیح‌ به‌ این‌ مسئله‌ را به‌ دنبال‌ خواهد داشت‌. شوئنفلد(۱۹۸۵) می‌گوید که‌ در واقع‌ در مجموعه‌ مهمی‌ از کتاب‌های‌ درسی‌ «روش‌ کلید واژه‌»نشاندهنده‌ پاسخ‌ «درست‌» برای‌ همه‌ مسائل‌ است‌ (۹۷ درصد مسائل‌) است‌.

اما، مسائل‌ ریاضی‌ زندگی‌ واقعی‌ به‌ این‌ روشنی‌ بسته‌بندی‌ نشده‌اند. آن‌ راهبردی‌آموزشی‌ که‌ به‌ دانش‌آموزان‌ اجازه‌ دهد مسئله‌ای‌ را بدون‌ بازنمایی‌ معنادار (معنایی‌)صورت‌ مسئله‌ حل‌ کنند، محتمل‌ به‌ نظر نمی‌رسد که‌ بتواند راهبردهای‌ انعطاف‌پذیر وپیچیده‌ای‌ را برای‌ حل‌ مسئله‌ به‌ وجود آورد. معلمان‌ ریاضی‌ باید به‌ کودکان‌ کمک‌کنند تا دانش‌ مفهومی‌ موجود خود را با اطلاعات‌ جدیدی‌ که‌ شبکه‌ مفهومی‌ دانش‌ریاضی‌ ایشان‌ را گسترش‌ می‌دهد وسعت‌ بخشند. تنها در صورتی‌ که‌ این‌ اطلاعات‌معنادار باشد، کودکان‌ الگوریتم‌ مناسب‌ برای‌ طیف‌ وسیعی‌ از تکالیف‌ ریاضی‌ را درخود پرورش‌ خواهند داد. ساختار ریاضیات‌ پایه‌ روشنی‌ را در اختیار می‌گذارد که‌می‌توان‌ براساس‌ آن‌ رشد طرحواره‌ها حل‌ مسئله‌ در دانش‌آموزان‌ دبستانی‌ ودبیرستانی‌ را بررسی‌ کرد. ما این‌ تحقیقات‌ تازه‌ را ابتدا با تمرکز بر حل‌ مسائل‌ حساب‌و سپس‌ جبر بررسی‌ خواهیم‌ کرد.

۶)حل‌ مسائل‌ حساب‌

زمانی‌ معلمان‌ ریاضی‌ بین‌ جنبه‌های‌ محاسباتی‌ ریاضیات‌، که‌ در بسیاری‌ از موارد بریادگیری‌ قواعدی‌ همچون‌ الگوریتم‌ جمع‌ و تقسیم‌ متمرکز است‌، و ابعاد مفهومی‌ریاضیات‌، که‌ احتمالاً در برگیرنده‌ حل‌ مسئله‌ و درک‌ است‌، تفکیک‌ قایل‌ شدند. درواقع‌، حتی‌ تا همین‌ سال‌ ۱۹۸۳ نیز دویل‌ در مروری‌ که‌ بر تکالیف‌ درسی‌ انجام‌ داده‌است‌ می‌گوید:

با پیشرفت‌ دانش‌آموزان‌ در طول‌ سال‌های‌ تحصیلی‌، به‌ تدریج‌ تأکید از مهارت‌های‌آغازین‌ به‌ محتوا و روش‌ تحقیق‌ متجلی‌ در رشته‌های‌ درسی‌ منتقل‌ می‌گردد. ازدانش‌آموزان‌ مسنتر انتظار می‌رود که‌ جبر، تاریخ‌، زیست‌شناسی‌ و ادبیات‌ را به‌ جای‌صرفاً تمرین‌ خواندن‌ و مهارت‌های‌ محاسباتی‌ فراگیرند. ]تأکید از مؤلفان‌[ (صفحه‌۱۶۰).

چنین‌ تفکیکی‌ به‌ سرعت‌ در حال‌ زوال‌ است‌. تحقیقات‌ نظری‌ ارزشمند اخیر در باره‌کودکان‌ خردسال‌ نشان‌ داده‌ است‌ که‌ برای‌ مثال‌، کسب‌ الگوریتم‌های‌ جمع‌ و تفرق‌ ازموضوع‌های‌ اساسی‌ ریاضی‌ است‌. گرچه‌ سخن‌ درستی‌ است‌ که‌ این‌ گونه‌ عملیات‌محاسباتی‌ به‌ حدی‌ خوب‌ یاد گرفته‌ شده‌اند که‌ «برای‌ اکثر بزرگسالان‌ عادت‌» شده‌اند،ولی‌ این‌ سخن‌ نباید موجب‌ نادیده‌ گرفتن‌ ماهیت‌ اساسی‌ حل‌ مسئله‌ای‌ آنها شود.الگوریتم‌ جمع‌، که‌ اغلب‌ بزرگسالان‌ به‌ این‌ راحتی‌ و کفایت‌ آن‌ ر به‌ کار می‌برند، روزی‌برای‌ همه‌ ما در قالب‌ تعریفی‌ که‌ در فصل‌ ۷ داشتیم‌ «مسئله‌» بوده‌ است‌. علاوه‌ بر این‌،استفاده‌کنندگان‌ از الگوریتم‌های‌ معمول‌ محاسباتی‌ باید آن‌ قواعد را به‌ منظور کاربردموثر آنها در موقعیت‌های‌ مختلفی‌ که‌ نیاز به‌ تبحر ریاضی‌ دارد «درک‌» کنند. در نتیجه‌،ما این‌ دیدگاه‌ را برمی‌گزینیم‌ که‌ همه‌ انواع‌ ریاضیات‌، حداقل‌ در ابتدا، نوعی‌ حل‌مسئله‌ است‌.

مسلماً درست‌ است‌ که‌ در بسیاری‌ از مدارس‌ ابتدایی‌ نسبت‌ به‌ حساب‌ صرفاً همچون‌فعالیت‌ «تمرین‌ ـ کاربرد» برخورد می‌شود. «حقایق‌» حساب‌ یا «جداول‌ ضرب‌»همچون‌ مواردی‌ مجزا دیده‌ می‌شود که‌ باید آنها را در حافظه‌ ذخیره‌ کرد و تبحر درحساب‌ با سرعت‌ پاسخ‌ فرد سنجیده‌ می‌گردد. با چنین‌ دیدی‌ به‌ حساب‌ ابتدایی‌،دانش‌آموزان‌ کارآمد کسی‌ است‌ که‌ خزانه‌ای‌ بزرگ‌ و سریعاً قابل‌ دسترسی‌ از «حقایق‌»را کسب‌ کرده‌ باشد. ما به‌ روشنی‌ از دوران‌ دبستان‌ تجارب‌ خود را از «مسابقات‌حساب‌» به‌ یاد می‌آوریم‌ که‌ با دویدن‌ به‌ پای‌ تخته‌ کلاس‌ و «حل‌ کردن‌» مسائل‌ (مثلاًجمع‌ کردن‌ چند عدد سه‌ رقمی‌)، قبل‌ از آنکه‌ رقیب‌ دیگری‌ بتواند آن‌ را حل‌ کند،تخصص‌ خود را نشان‌ می‌دادیم‌. چنین‌ روشی‌ ممکن‌ است‌ بیشتر به‌ سرعت‌ اهمیت‌بدهد تا درک‌. حتی‌ امروز نیز دسترسی‌ درست‌ و سریع‌ به‌ «حقایق‌» ابتدایی‌ حساب‌تمجید می‌شود. به‌ هر حال‌، اینکه‌ تأکید بر سرعت‌ اجرایی‌ به‌ «درک‌» حساب‌می‌انجامد یا نه‌ روشن‌ نیست‌.

ما می‌گوییم‌ که‌ تمایزگذاری‌ بین‌ حساب‌، همچون‌ مهارتی‌ محاسباتی‌ و جبر، مثلثات‌ وحساب‌ جامعه‌ و فاضله‌ همچون‌ مهارت‌های‌ حل‌ مسئله‌، انتظارات‌ حل‌ مسئله‌ را درجریان‌ پرورش‌ الگوریتم‌های‌ اساسی‌ حساب‌ در کودکان‌، نادیده‌ می‌گیرد. صرف‌ اینکه‌کفایت‌ در حساب‌ در مدرسه‌ ابتدایی‌ و کفایت‌ در جبر در مدرسه‌ راهنمایی‌ آموخته‌می‌شود، حساب‌ را برای‌ اینکه‌ حل‌ مسئله‌ نامیده‌ شود کم‌ ارزش‌تر نمی‌کند. تحلیل‌ زیردر باره‌ تکالیف‌ جمع‌ و تفریق‌ «ساده‌» نشان‌ می‌دهد که‌ روش‌های‌ حل‌ مسئله‌ در زمینه‌جمع‌ و تفریق‌ چقدر پیچیده‌اند.

۷)نوع‌شناسی‌ مسئله‌

اگر جمع‌ و تفریق‌ را حل‌ مسئله‌ تلقی‌ کنیم‌، چه‌ نوع‌ مسائلی‌ ممکن‌ است‌ ایجاد شود؟اگر جمع‌ و تفریق‌ را عبارت‌های‌ باز با مجهولات‌ متغیر به‌ شمار آوریم‌، می‌توان‌ شش‌«عبارت‌» جمع‌ و تفریق‌ آفرید (کارپنتر و موزر، ۱۹۸۳). این‌ تکالیف‌ که‌ سادگی‌فریبنده‌ دارند تا حد زیادی‌ محتوای‌ درس‌ حساب‌ را در سال‌های‌ اول‌ دبستان‌ تشکیل‌می‌دهند. انواع‌ عبارات‌ در جدول‌ ۱۲ ـ ۱ نشان‌ داده‌ است‌. اعدادی‌ که‌ در این‌ عبارت‌هابه‌ کار رفته‌ به‌ حاصل‌ راه‌ حل‌ اعداد کامل‌ می‌انجامد که‌ از حقایق‌ حساب‌ ابتدایی‌ گرفته‌شده‌ است‌. تحقیقات‌ (مانند بیتل‌ و دیکمان‌، ۱۹۷۲) نشان‌ می‌دهد که‌ این‌ مسائل‌(عبارت‌ها) از نظر دشواری‌ برای‌ کودکان‌ سال‌های‌ اول‌ دبستان‌ یکسان‌ نیستند. به‌طورکلی‌، عبارات‌ تفریق‌ از عبارات‌ جمع‌ دشوارترند. عبارت‌هایی‌ از نوع‌ (? = a + b   یا a- b = ?) از عبارت‌هایی‌ مانند (a + ? = c یا a – ? = b) آسانترند. عبارت‌هایی‌ که‌عملیات‌ آنها در سمت‌ راست‌ علامت‌ تساوی‌ است‌ (c = ? – b) دشوارتر از مسائل‌مشابهی‌ است‌ که‌ عملیات‌ آنها در سمت‌ چپ‌ علامت‌ تساوی‌ قرار گرفته‌ است‌. البته‌،علت‌ دقیق‌ چنین‌ پدیده‌ای‌ هنوز مشخص‌ نشده‌ است‌، لیکن‌ یکی‌ از فرضیات‌ پذیرفتنی‌و ساده‌ این‌ است‌ که‌ معلمان‌ و کتاب‌های‌ درسی‌ بیشتر چنین‌ تمایل‌ دارند که‌ مسائل‌ رامکرراً در شکل‌ «آسانتر» آن‌ به‌ جای‌ اشکال‌ دیگر، عرضه‌ کنند. یعنی‌ دانش‌آموزان‌تمرین‌های‌ بیشتر با ساختار (? = a + b) دریافت‌ می‌کنند تا عباراتی‌ که‌ عملیات‌ آن‌در سمت‌ راست‌ علامت‌ تساوی‌ قرار گرفته‌ باشد.

مسائل‌ جمع‌ و تفریق‌ در چهار طبقه‌ مهم‌ دسته‌بندی‌ شده‌اند: تغییر، ترکیب‌، مقایسه‌ وتساوی‌ (کارپنتر و موزر، ۱۹۸۲ ؛ رایلی‌ و همکاران‌ ۱۹۸۳). در زیر برای‌ هر یک‌ از این‌طبقات‌ نمونه‌ای‌ عرضه‌ می‌گردد (توجه‌ کنید که‌ ۲۰ حالت‌ مختلف‌ برای‌ این‌ چهار نوع‌مسئله‌ امکان‌پذیر است‌).

 

جداول‌ ۱۲ ـ ۱ انواع‌ عبارت‌های‌ باز

؟ = a + b a + b = ?
c = a + ? a + ? = c
c = ؟ + b ؟ + b = c
؟ = a – b a – b = ?
c = a – ? a – ? = c
c = ? – b ? – b = c

 

تغییر: حیدر شش‌ عدد سیب‌ داشت‌، کریم‌ به‌ او پنج‌ سیب‌ دیگر داد. حیدر جمعاً چندعدد سیب‌ دارد؟

ترکیب‌: حیدر شش‌ عدد سیب‌ قرمز و پنج‌ عدد سیب‌ سبز داشت‌. او جمعاً چند عددسیب‌ دارد؟

مقایسه‌: حیدر دوازده‌ عدد سیب‌ دارد. او هفت‌ عدد سیب‌ بیشتر از کریم‌ دارد. کریم‌چند عدد سیب‌ دارد؟

تساوی‌: کریم‌ پنج‌ عدد سیب‌ دارد. اگر حیدر هشت‌ عدد از سیب‌های‌ خود را از دست‌بدهد، تعداد سیب‌های‌ او با کریم‌ برابر خواهد شد. حیدر چند عدد سیب‌ دارد؟

تشخیص‌ اینکه‌ کودکان‌ چگونه‌ این‌ گونه‌ مسائل‌ را حل‌ می‌کنند به‌ بررسی‌ مهارت‌های‌شمارش‌ نیاز دارد، زیرا کودکان‌ دوره‌ ابتدایی‌ برای‌ جمع‌ و تفریق‌ از شمارش‌ استفاده‌می‌کنند. بررسی‌ گزارش‌های‌ کودکان‌ خردسال‌ از نحوه‌ حل‌ مسائل‌ جمع‌ سه‌ سطح‌ ازراهبردهای‌ شمارش‌ را (نک‌. کارپنتر و موزر، ۱۹۸۲) برای‌ حل‌ این‌ مسائل‌ نشان‌می‌دهد. این‌ راهبردهای‌ شمارش‌ به‌ شرح‌ زیر است‌.

۸)دانش‌ حساب‌

رایلی‌ و همکاران‌ او (۱۹۸۳) تکالیف‌ حساب‌ شبیه‌ موارد توصیه‌ شده‌ در بالا را تحلیل‌و الگویی‌ نظری‌ برای‌ فرایند حل‌ طراحی‌ کرده‌اند. این‌ الگو نوعی‌ شبیه‌سازی‌ رایانه‌ای‌است‌ که‌ مسائل‌ تغییر، ترکیب‌، مقایسه‌ و تساوی‌ را حل‌ می‌کند.

متن‌ مسئله‌ (یعنی‌ صورت‌ مسئله‌) مبنای‌ درک‌ تکلیف‌ را فراهم‌ می‌آورد و درک‌ به‌بازنمایی‌ مسئله‌ می‌انجامد. این‌ بازنمایی‌ از مجموعه‌ای‌ از طرحواره‌های‌ مسئله‌ که‌ درحافظه‌ درازمدت‌ ذخیره‌ شده‌ است‌ استخراج‌ می‌شود. وقتی‌ طرحواره‌ مسئله‌ خاصی‌فعال‌ شد، طرحواره‌ای‌ برای‌ اقدام‌ (فرآورش‌) در حافظه‌ کاری‌ بازنمایی‌ می‌شود و درتلاش‌ برای‌ حل‌ مسئله‌ اجرا می‌گردد. رایلی‌ و همکاران‌ او معتقدند که‌ برای‌ تولیدزنجیره‌ای‌ از قواعد فرآورش‌ که‌ برنامه‌ریزی‌ بالا به‌ پایین‌ را برای‌ حل‌ کارآمد و صحیح‌مسئله‌ ممکن‌ می‌سازند، به‌ دانش‌ راهبردی‌ نیاز است‌ (نک‌. فصل‌ ۲) از دید رایلی‌ وهمکاران‌ او هر مسئله‌ حساب‌ نیاز به‌ سه‌ نوع‌ دانش‌ دارد: (۱) طرحواره‌ مسئله‌ (که‌ ازساختار معنایی‌ صورت‌ مسئله‌ استخراج‌ می‌گردد)، (۲) طرحواره‌ اقدام‌ (اقدامات‌ذخیره‌ شده‌ در حافظه‌ برای‌ حل‌ مسئله‌) و (۳) دانش‌ راهبردی‌ برای‌ مرتب‌ کردن‌(برنامه‌ریزی‌) مراحل‌ حل‌ مسئله‌.

۹)رهیافتهای‌ شناختی‌ یادگیری‌ ریاضیات‌ برای‌ آموزش‌ ریاضیات‌.

جان‌ گلاور خلاصه‌ای‌ از تفکرات‌ معاصر را به‌ شرح‌ ذیل‌ اعلام‌ می‌دارد.

۱ – ریاضیات‌ کلاً باید از دیدگاه‌ حل‌ مساله‌ تدریس‌ گردد.

حقایق‌ و مفاهیم‌ خاص‌، روش‌ها، الگوریتم‌ها و طرحواره‌ها را باید در زمینه‌ حل‌مساله‌ و نه‌ به‌ صورت‌ مجزا یاد گرفت‌.

۲ – آموزش‌ ریاضیات‌ باید بر فرایند و ساختار و نه‌ پاسخ‌، متمرکز باشد دانش‌آموزان‌ راباید تشویق‌ کرد که‌ تفکر و کار خود را بررسی‌ کنند آنها دنبال‌ پاسخ‌های‌ درست‌نباشند، بلکه‌ در جستجوی‌ این‌ باشند که‌ چرا یک‌ روش‌ در یک‌ موقعیت‌ خاص‌ مفید یانامفید است‌؟ انعطاف‌پذیری‌ بسیاری‌ از دانش‌آموزان‌ در حل‌ مسایل‌ جبر حاکی‌ از این‌است‌ که‌ آنها الگوریتم‌ها را فقط‌ طوطی‌وار یاد گرفته‌اند.

۳ – معلمان‌ باید وقت‌ بیشتری‌ را صرف‌ کنند و به‌ صورت‌ کلامی‌ سرمشق‌ رفتارمتفکرانه‌ حل‌ مسائل‌ قرار گیرند آنها به‌ ویژه‌ باید فرایندهایی‌ را که‌ برای‌ حل‌ مساله‌ به‌کار می‌برند تشریح‌ کنند و اهمیت‌ آن‌ فرایندها را به‌ ایشان‌ نشان‌ دهند. همچنین‌ بایدزنجیره‌ تفکر و نیز رابطه‌ موجود بین‌ قطعه‌های‌ اطلاعات‌ معنایی‌ را در مسائلی‌ که‌ مویدآن‌ تفکر است‌ روشن‌ سازند. معلمان‌ باید همراه‌ با فرایندهایی‌ که‌ به‌ راه‌حل‌های‌«درست‌» می‌انجامد اشتباهات‌ بالقوه‌ در راهبردهای‌ حل‌ و چگونگی‌ وقوع‌ این‌اشتباهات‌ را نشان‌ دهند.

۴ – دانش‌آموزان‌ تمرین‌های‌ بیشتری‌ نیاز دارند که‌ احتیاج‌ به‌ سخن‌ آرایی‌ و در صورت‌امکان‌ تصویربرداری‌ از فرایندهای‌ مورد استفاده‌ در عملیات‌ حل‌ داشته‌ باشند وقتی‌اشتباهاتی‌ رخ‌ می‌دهد و دانش‌آموزان‌ گیر می‌کنند معلمان‌ می‌توانند حل‌ مساله‌ را ازطریق‌ این‌ درخواست‌ که‌ دانش‌آموزان‌ فرایند موجود حل‌ مساله‌ را بازبینی‌ و به‌ جای‌پاسخ‌ درست‌ در جستجوی‌ اشتباهات‌ یا رهیافتهای‌ جدید باشند تقویت‌ کنند به‌ بیان‌دیگر معلمان‌ باید مربی‌ باشند نه‌ راه‌ حل‌ دهنده‌

۵ – در هر حوزه‌ دانش‌آموزان‌ از تجارب‌ خویش‌ معنا می‌سازند گر چه‌ توافقی‌ کلی‌ درمورد اینکه‌ چگونه‌ این‌ معناسازی‌ انجام‌ می‌گیرد وجود ندارد ولی‌ شواهد دال‌ برمعناسازی‌ کاملاً آشکار است‌. در نتیجه‌ آن‌ فنون‌ آموزشی‌ که‌ برفرایندهای‌ ساختن‌تاکید دارد و احتمالاً موجب‌ تقویت‌ یادگیری‌ دانش‌آموز می‌گردد.

۶ – فرایندهایی‌ که‌ دانش‌آموزان‌ برای‌ ساختن‌ بازنمایی‌ مساله‌ها به‌ کار می‌برند منبع‌اطلاعات‌ با ارزشی‌ است‌ که‌ هم‌ نقاط‌ قوت‌ ایشان‌ را آشکار می‌سازد و هم‌ نقاط‌ ضعف‌آنها را، اشتباهات‌ به‌ ویژه‌ از آن‌ رو منبعی‌ است‌ غنی‌ که‌ معلمان‌ می‌توانند از یافتن‌ کژفهمی‌های‌ خاص‌ دانش‌آموزان‌ از آنها استفاده‌ کنند. بررسی‌ دقیق‌ فرایندهای‌ حل‌مساله‌ دانش‌آموزان‌ ممکن‌ است‌ اشتباهات‌ قابل‌ انتساب‌ به‌ فقدان‌ دانش‌ راهبردی‌(طرحواره‌ای‌) واقعی‌ یا حتی‌ ریاضی‌ یا حتی‌ زبانی‌ او را آشکار سازد. تحقیقاتی‌ که‌درباره‌ اشکالات‌ دانش‌آموزان‌ در حساب‌ انجام‌ گرفته‌ است‌ نشان‌ می‌دهد که‌ اشتباهات‌را می‌توان‌ کوچک‌ فرض‌ کرد. بررسی‌ سطحی‌ الگوهای‌ اشتباه‌ ممکن‌ است‌ معلمان‌ رابه‌ نتایج‌ نامناسبی‌ درباره‌ ماهیت‌ عملکرد حل‌ مساله‌ دانش‌آموز رهبری‌ کرد.

۷ – روش‌ معمول‌ دسته‌بندی‌ کلی‌ همه‌ مسائلی‌ که‌ از طریق‌ طرحواره‌ای‌ خاص‌ قابل‌ حل‌به‌ نظر می‌رسد روش‌ سالمی‌ نیست‌. روش‌ بهتر عرضه‌ آمیخته‌ای‌ از مسائل‌ است‌.

۸ ـ آنچه‌ در همه‌ آرای‌ بالا مستتر است‌ نیاز به‌ معلمانی‌ است‌ که‌ آمادگی‌ کامل‌ درریاضیات‌ داشته‌ باشد و تدریس‌ این‌ درس‌ برایشان‌ براحت‌ باشد. کودکان‌ در حالی‌ که‌از مهارتهای‌ حل‌ مساله‌ کاملا پرورش‌ یافته‌ و قابل‌ کاربرد برخوردارند. وارد مدرسه‌می‌شوند. و معلمان‌ ماهر باید به‌ جای‌ تحلیل‌ بردن‌ این‌ مهارتها آنها را تقویت‌ کنند.

لینک مطالب مربوط به گفتار اولگفتار دوم گفتار سومگفتار چهارم  – گفتار پنجم گفتار ششم

انتهای پیام/

 

ارسال نظر